求证(sinx)^2 + 4/(sinx)^2≥4

证明:
(sinx)^2 + 4/(sinx)^2
=(sinx)^2 + 4/(sinx)^2-2(sinx)*[2/(sinx)]+2(sinx)*[2/(sinx)]
=[(sinx)+2/(sinx)]^2+4
因为
[(sinx)+2/(sinx)]^2≥0
所以
[(sinx)+2/(sinx)]^2+4≥4
即
(sinx)^2 + 4/(sinx)^2≥4
证明完毕

1>(sinx)^2>0
根据基本不等式
(sinx)^2 + 4/(sinx)^2≥2根号4=4
那么(sinx)^2 + 4/(sinx)^2≥4

1≥sinx≥-1
1>(sinx)^2>0
(sinx)^2 + 4/(sinx)^2≥2≥0
(sinx)^2 + 4/(sinx)^2≥4

(sinx)^2 + 4/(sinx)^2=(sinx+2/sinx)^2

sinx+2/sinx≥2,sinx的取值范围为-1到1

所以(sinx)^2 + 4/(sinx)^2≥4

因为-1≤sinx≤1，所以(sinx)^2≤1
故1/(sinx)^2≥1，则(sinx)^2 + 4/(sinx)^2≥4 成立

设(sinx)^2 =t，f(x)=t+4/t 此为对勾函数
当t=4/t 即t=2时 函数取最小值=4
因为t∈(0,1] 根据对勾函数图象 得在[0,1]上当t=1时最小值为5